量子もつれとベルの不等式｜離れた粒子は何を共有しているのか

トンネル障壁の向こうへ検出パルスが届くと、量子駅のホームが二つに分かれた。A室にはイトとマコト、B室にはユイが入る。ピコは二室の中央にある粒子源だけを操作し、同時に二つの粒子を送り出した。各室には角度を選べる測定器と、赤か青のランプが一つずつある。

最初の十回では、結果はばらばらに見えた。ところが同じ測定方向を選んだ回だけ並べると、強い一致または反一致が現れる。イトは「出発前に答えの色を決めて、左右へ同じ表を持たせたんだ」と考えた。ユイは「片方を測った瞬間、もう片方へ答えが送られたのでは」と言う。どちらも一見もっともらしい。

ピコは通信線を切り、測定方向を粒子が出発した後に各室でランダムに選ぶよう設定した。それでも、特定の角度の組合せでは、あらかじめ持たせた古典的な回答表が達成できる上限を超える相関が残った。今回の疑問は、量子もつれが何を意味し、Bellの不等式違反がどの種類の古典的説明を退けるのかである。同時に、その強い相関を使って光より速くメッセージを送れるのかも確かめる。

先に結論――Bell実験は局所的な事前回答だけでは量子相関を再現できないことを示す

量子もつれは、複数の系を個別状態の単純な組として書けない結合状態である。例えば二つの量子ビットが、00と11の重ね合わせ、または01と10の重ね合わせとして準備されると、片方だけには確定した純粋状態を割り当てられなくても、二者の測定結果には強い相関が現れる。

Bellの定理は、各粒子が出発時からあらゆる測定方向への答えを持ち、遠隔側の測定設定から局所的に独立して結果を出す種類の局所隠れ変数理論が、満たさなければならない相関の上限を与える。量子力学は特定条件でその上限を超えると予言し、実験は量子予測を支持してきた。

ただし、片方の測定結果は各回ランダムで、遠隔側の人がその値を選べない。自分側のデータだけを見ても、相手がどの設定を選んだか分からない。相関を確認するには、後で通常の古典通信により記録を照合する必要がある。したがって量子もつれは、制御可能な超光速通信路を与えない。

もつれ状態は「同じものを二個用意した」状態ではない

二つの粒子をそれぞれ同じ上向き状態へ準備した積状態|↑⟩|↑⟩では、片方の完全な記述ともう片方の完全な記述を別々に持てる。一方、スピン一重項状態

(|↑↓⟩−|↓↑⟩)/√2

は、どちらを先に書いても個別の確定方向を持たないが、同じ軸で測れば結果は必ず反対になる。全体状態には明確な構造があるのに、部分系だけの状態は混合状態となる。

イトは、赤と青のカードを最初から一枚ずつ封筒に入れた場合と同じだと考えた。その古典模型なら、どの方向を測っても対応する答えがあらかじめ存在する必要がある。しかし量子測定では、測定軸を変えたときの相関が、単一の固定回答表では同時に再現できない。

EPRが投げかけた問い

1935年、Einstein、Podolsky、Rosenは、量子力学が完全な理論かを問う思考実験を発表した。遠く離れた系の一方を測ることで、他方の対応する物理量を予測できるなら、遠隔系には測定前からその値に対応する「物理的実在の要素」があるのではないか、と論じた。

彼らの議論は、量子力学の統計予測が間違っていると直ちに示したのではない。波動関数による記述が完全か、局所性と実在性をどのように守れるかという問題を明確にした。長い間、異なる解釈の好みの問題に見えたが、Bellは1964年に、局所隠れ変数理論と量子力学を実験的に区別できる不等式を導いた。

マコトは観測手帳へ、「EPRはもつれを通信装置として提案した論文ではなく、量子記述の完全性を問う議論」と書いた。

Bellの不等式は何を仮定するのか

Bell型の議論では、粒子対の共通原因を隠れ変数λで表し、A室の結果AがA室の設定aとλにより、B室の結果BがB室の設定bとλにより決まると考える。Aの結果が遠隔の設定bに依存せず、Bの結果がaに依存しないという局所性を置く。さらに測定設定がλと不自然に結び付いていないという測定独立性も必要になる。

「局所実在論」という言葉は便利だが、どの仮定を検証しているかを曖昧にしやすい。Bell実験は、局所性、測定設定の独立性、通常の確率論的枠組みなどを組み合わせたモデルの上限を調べる。実験結果だけから「現実は存在しない」と結論するものではない。

CHSHゲームで古典上限を見る

ピコは数式だけでなく、二人が相談後に離れて答えるゲームを用意した。A室とB室には、それぞれ0か1の質問がランダムに届く。二人は通信せず0か1を答える。両方の質問が1の場合だけ答えが異なり、それ以外では答えが同じなら成功とする。

古典的な固定戦略では、四種類すべての質問組を同時に満たせない。最大でも平均成功率は75％である。量子もつれと適切な測定方向を使うと、理想的にはcos²(π/8)、約85.4％へ上げられる。これは毎回成功する魔法ではなく、統計的な上限差である。

イトとユイは最初、各質問への答えを四枚のカードに書いて持ち込んだ。どの組合せでも一つだけ矛盾する。次にもつれ対と角度測定を使うと、個々の回は予測不能なのに、集計した成功率は古典上限を越えた。イトは「決めていないのに、相談済みより合う」という点に驚いた。

CHSH不等式の相関量

実験では、測定結果を+1または−1とし、設定a、a′、b、b′の組合せで相関E(a,b)を測る。CHSH量

S=E(a,b)+E(a,b′)+E(a′,b)−E(a′,b′)

を作ると、局所隠れ変数理論では|S|≤2となる。量子力学では適切なもつれ状態と測定角度により最大2√2まで到達できる。これはTsirelson限界と呼ばれる。

相関値は、一致回数だけでなく不一致回数も含め、各設定組で十分な統計を取って計算する。測定器の効率や背景計数、設定選択の偏りを無視すると、見かけの違反を作る可能性がある。ユイは成功した回だけを残す案を出したが、ピコは全試行と除外規則を先に固定するよう求めた。

Aspect実験からloophole-free実験まで

初期のBell実験では、検出されなかった粒子が多い場合、検出された標本だけが全体を代表するという公平標本化の仮定が必要だった。また設定選択と測定が十分速く離れていなければ、光速以下の信号で影響し合った可能性を完全には排除できない。

Aspectらは1982年、飛行中に測定設定を切り替える実験などで量子予測を支持した。その後、光子検出効率、設定生成、空間分離、イベント選別が改善され、2015年には複数の研究グループが主要な検出・局所性loopholeを同時に閉じる実験を報告した。

「loophole-free」は、あらゆる哲学的可能性を論理的にゼロにしたという意味ではない。実験ごとに閉じた抜け穴、統計的有意性、設定独立性の仮定、機器モデルを確認する必要がある。科学では、より厳しい条件で再現し、代替説明の余地を狭めていく。

測定すると遠くの粒子へ何が起きるのか

一重項状態でA室がある軸を測り+1を得たとき、同じ軸をB室で測れば−1と予測できる。状態更新の計算法では、全体状態をAの結果に条件付けてBの状態を表す。しかし、この更新を「物理的な命令信号がAからBへ瞬時に飛んだ」と同一視する必要はない。

B室だけの測定結果は、A室が測ったか、どの軸を選んだかにかかわらず、適切な条件では同じ局所確率分布を持つ。Bの人は自分の赤青列を眺めても、Aの選択を読み取れない。AとBの記録を古典通信で並べたときに、設定に応じた相関が現れる。

ピコはA室の操作を変え、ユイには知らせなかった。ユイのランプ列はどの場合もほぼ半々で、変化を判別できない。後でイトの観測手帳と照合すると、相関の角度依存だけが変わっていた。

no-signalingと相関の強さは両立する

量子相関が古典局所モデルの上限を超えることと、超光速通信ができないことは矛盾しない。相関は二者の共同確率分布に現れ、各側の周辺確率分布は遠隔設定に依存しない。これがno-signaling条件である。

もしAが自分の結果を自由に0か1へ選べれば信号に使えるが、量子測定結果は制御できない。測定軸を選ぶことはできても、その軸で+1か−1のどちらが出るかを指定できない。B側で平均すると、Aの選択情報が消える。

マコトは「速い相関」と「速い通信」を別の行に分けた。日常語の「影響」という一語だけで説明すると、制御可能な因果信号と条件付き予測を混同する。

もつれは二粒子だけのものではない

三つ以上の系ではGHZ状態やクラスタ状態など、二者相関だけでは捉えきれない多体もつれがある。量子計算では、もつれだけで速度向上が保証されるわけではないが、多量子ビット状態を古典的に効率よく表しにくくする資源の一つとなる。量子通信や分散センシングでも、目的に応じたもつれ構造を使う。

一方、すべての相関がもつれではない。二枚の同じ乱数表を配る古典相関も強い一致を作る。状態トモグラフィー、もつれ witness、Bell不等式など、何を証明したいかに応じて検査を選ぶ必要がある。Bell違反はもつれの強い証拠だが、実用装置のすべてのもつれ確認にBell試験が必要なわけではない。

もつれが壊れるとはどういうことか

各粒子が環境と相互作用すると、二粒子間の有用な量子相関が環境を含むより大きな相関へ分散する。局所的な雑音、損失、位相ずれにより、Bell違反が観測できなくなる。もつれが完全にゼロになる条件と、Bell不等式を違反できなくなる条件は同じとは限らない。

ユイはBell違反が見えない試料を「もつれていない」と判定しようとした。ピコは測定設定と統計精度を増やし、別のもつれ witnessでは相関が残る例を示した。検出法の感度限界と、状態自体の性質を区別する必要がある。

四人がloopholeを一つずつ閉じる

量子駅の正式試験では、イトがA室、ユイがB室で設定を高速乱数により選ぶ。マコトは粒子対の生成イベントを先に定義し、検出された都合のよい回だけを残さない集計手順を観測手帳に書く。ピコは両室の距離と測定時間を表示し、設定選択から結果確定までが空間的に離れるよう確認させた。

最初の集計では統計が少なく、Sは2を少し超えたが誤差範囲が大きかった。イトは勝ちを宣言したが、ユイが信頼区間と試行数を確認して止める。測定回数を増やすと、局所隠れ変数上限から統計的に明確な差が得られた。四人は「量子力学が何でも瞬時に伝える」ではなく、「局所的な事前回答表では共同統計を再現できない」と合格文を選んだ。

二室の扉が再び一つにつながると、中央に球形の操作盤が浮かんだ。北極に0、南極に1、赤道の周囲に複数の矢印がある。イトは「0と1が同時なら、答えを二個読める」と手を伸ばす。ピコは球を半回転させ、「次は相関の前に、一個の量子ビットが何を持っているかを言い直そう」と告げた。

量子もつれを超光速通信にしない4つの注意

誤解：もつれた粒子は測定前から同じ答え表を持っている

Bell不等式違反は、局所的な固定回答表を含む広い局所隠れ変数モデルでは、観測相関を再現できないことを示す。

誤解：片方の測定結果を使って光より速く文字を送れる

各側の結果は制御できず、局所分布から遠隔設定を読めない。相関確認には古典通信が必要である。

誤解：Bell実験は現実が存在しないことを証明した

実験は特定の仮定を組み合わせた局所モデルを制約する。「実在」という語の全哲学的意味を一つに決めるものではない。

誤解：強い一致があれば必ず量子もつれである

古典的な共通原因でも相関は作れる。測定設定を変えた相関構造と、不等式や状態検査が必要である。

CHSHゲームで古典75％と量子相関を比べる

まず二人が固定回答表を作るCHSHゲームを行い、古典成功率75％の上限を確かめる。次にもつれ対と四つの測定角度を使い、各設定組の相関からSを計算する。検出効率、設定の偏り、試行後の選別を意図的に変え、見かけの違反が生じる条件を見抜く。最後にA側の設定を秘密に変え、B側単独データからは判別できないことを検証する。

30秒でつかむ「強い相関と速い通信は別」

• 量子もつれは全体を個別状態の単純な積に分けられない状態である。
• Bellの不等式は局所的な事前回答で作れる相関の上限を与える。
• 実験は適切な条件でBell不等式を違反し、量子予測を支持する。
• 強い相関があっても、各側の結果を選べないため超光速通信はできない。
• loophole、統計、測定設定の独立性を明記して結果を評価する必要がある。

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次の行動――古典回答表で四条件を同時に満たせるか試す

Aの質問0・1への二つの答えと、Bの質問0・1への二つの答えを先に固定し、四つの質問組を検査しよう。必ず一条件以上で失敗することを確認した後、量子測定角度で得た統計と比較し、違いが一回の奇跡ではなく成功率の上限にあることを説明する。

一次・公的資料を中心とした出典

• A. Einstein, B. Podolsky and N. Rosen, “Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete?” Physical Review 47, 777–780, 1935. https://doi.org/10.1103/PhysRev.47.777
• J. S. Bell, “On the Einstein Podolsky Rosen Paradox,” Physics Physique Fizika 1, 195–200, 1964. https://doi.org/10.1103/PhysicsPhysiqueFizika.1.195
• J. F. Clauser, M. A. Horne, A. Shimony and R. A. Holt, “Proposed Experiment to Test Local Hidden-Variable Theories,” Physical Review Letters 23, 880–884, 1969. https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.23.880
• A. Aspect, J. Dalibard and G. Roger, “Experimental Test of Bell’s Inequalities Using Time-Varying Analyzers,” Physical Review Letters 49, 1804–1807, 1982. https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.49.1804
• B. Hensen et al., “Loophole-free Bell Inequality Violation Using Electron Spins Separated by 1.3 Kilometres,” Nature 526, 682–686, 2015. https://doi.org/10.1038/nature15759
• Nobel Prize in Physics 2022, scientific background on entanglement and Bell tests. https://www.nobelprize.org/prizes/physics/2022/advanced-information/